一、情景问题

  如图为2008年北京奥运会奥林匹克公园场馆自动气象站某日一天24小时内的气温变化图（24时与0时气温相同为32?C），观察这张气温变化图：

问：该图形是否为函数图象？定义域是什么？

问：如何用数学语言来刻画温度随时间变化而变化的趋势呢？

 

画出函数f(x)=x和f(x)=x2的图象

 

  可观察到的图象特征： （1）函数f(x)=x的图象由左至右是上升的；

 （2）函数f(x)=x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的；也就是图象在区间(-∞,0]上，随x着的增大，相应的f(x) 随着减小，在区间(0,+∞)上，随着x的增大，相应的f(x)也随着增大.

  归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上的变化趋势也不同.函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映.

 

    思考：

    1．如何用函数解析式f(x)=x2描述“随着x的增大，相应的f(x)随着减小”，“随着x的增大，相应的f(x)也随着增大”？

    2.在区间(0,+∞)上任取x1,x2，函数值的大小变化与自变量的大小变化有何关系？如何用数学符号语言来描述这种关系呢？

    对于函数f(x)=x2 ，

    在区间(0,+∞)上，任取两个x1,x2，当x1  x2时，有f(x1)   f(x2).这时，我们就说函数f(x)=x2在区间(0,+∞)上是增函数.

    请你仿照刚才的描述，说明函数f(x)=x2在区间(-∞,0)上是减函数.

 

    对于函数f(x)=x2 ，

    在区间(0,+∞)上，任取两个x1,x2，当x1x2时，有f(x1)   f(x2).这时，我们就说函数在区间(0,+∞)上是增函数.

 

一、函数的单调性

  1.增函数的定义

  设函数f(x)的定义域为I：

  如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数（increasing  function）.

 

  2.减函数的定义

  设函数f(x)的定义域为I：

  如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数（decreasing   function）.

 

3．对定义要点分析

    1） 函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的; 

    2）应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）. 

    3）如果函数y=f(x)在某一区间D上是增(减)函数，就说f(x)在这个区间D上具有单调函数，

    这一区间D叫做f(x)的单调区间.

    说明：

   (1)函数的单调区间D是其定义域I的子集；

   (2)判断函数的单调性的方法：

    比较法（要注意变形的程度） 

     (3)证明函数的单调性的步骤：

 （1）增减函数的图象有什么特点？增函数的图象从左自右是上升的，减函数的图象从左自右是下降的.

 （2）用定义证明函数的单调性，需要抓住要点“在给定区间任意取两个自变量”去比较它们的函数值的大小.

 （3）如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.