4.8  正弦函数、余弦函数的图像和性质（第二课时）

（一）教学具准备

直尺，投影仪．

（二）教学目标 

1．掌握 ， 的定义域、值域、最值、单调区间．

2．会求含有 、 的三角式的定义域．

（三）教学过程 

1．设置情境

研究函数就是要讨论一些性质， ， 是函数，我们当然也要探讨它的一些属性．本节课，我们就来研究正弦函数、余弦函数的最基本的两条性质．

2．探索研究

师：同学们回想一下，研究一个函数常要研究它的哪些性质？

生：定义域、值域，单调性、奇偶性、等等．

师：很好，今天我们就来探索 ， 两条最基本的性质——定义域、值域．（板书课题正、余弦函数的定义域、值域．）

师：请同学看投影，大家仔细观察一下正弦、余弦曲线的图像．

师：请同学思考以下几个问题：

（1）正弦、余弦函数的定义域是什么？

（2）正弦、余弦函数的值域是什么？

（3）他们最值情况如何？

（4）他们的正负值区间如何分？

（5） 的解集如何？

师生一起归纳得出：

（1）正弦函数、余弦函数的定义域都是 ．

（2）正弦函数、余弦函数的值域都是 即 ， ，称为正弦函数、余弦函数的有界性．

（3）取最大值、最小值情况：

正弦函数 ，当 时，（ ）函数值 取最大值1，当 时，（ ）函数值 取最小值－1．

余弦函数 ，当 ，（ ）时，函数值 取最大值1，当 ，（ ）时，函数值 取最小值－1．

（4）正负值区间：

（ ）

（5）零点： （ ）

（ ）

3．例题分析

【例1】求下列函数的定义域、值域：

（1） ； （2） ； （3） ．

解：（1） ，

（2）由 （ ）

又∵ ，∴

∴定义域为 （ ），值域为 ．

（3）由 （ ），又由

∴

∴定义域为 （ ），值域为 ．

指出：求值域应注意用到 或 有界性的条件．

【例2】求下列函数的最大值，并求出最大值时 的集合：

（1） ， ； （2） ， ；

（3） （4） ．

解：（1）当 ，即 （ ）时， 取得最大值

∴函数的最大值为2，取最大值时 的集合为 ．

（2）当 时，即 （ ）时， 取得最大值 ．

∴函数的最大值为1，取最大值时 的集合为 ．

（3）若 ， ，此时函数为常数函数．

若 时， ∴ 时，即 （ ）时，函数取最大值 ，

∴ 时函数的最大值为 ，取最大值时 的集合为 ．

（4）若 ，则当 时，函数取得最大值 ．

若 ，则 ，此时函数为常数函数．

若 ，当 时，函数取得最大值 ．

∴当 时，函数取得最大值 ，取得最大值时 的集合为 ；当 时，函数取得最大值 ，取得最大值时 的集合为 ，当 时，函数无最大值．

指出：对于含参数的最大值或最小值问题，要对 或 的系数进行讨论．

思考：此例若改为求最小值，结果如何？

【例3】要使下列各式有意义应满足什么条件？

（1） ； （2） ．

解：（1）由 ，

∴当 时，式子有意义．

（2）由 ，即

∴当 时，式子有意义．

4．演练反馈（投影）

（1）函数 ， 的简图是（      ）

（2）函数 的最大值和最小值分别为（     ）

A．2，－2       B．4，0        C．2，0         D．4，－4

（3）函数 的最小值是（     ）

A．          B．－2          C．           D．

（4）如果 与 同时有意义，则 的取值范围应为（     ）

A．       B．       C．       D． 或

（5） 与 都是增函数的区间是（      ）

A． ，                B． ，

C． ，           D． ，

（6）函数 的定义域________，值域________， 时 的集合为_________．

参考答案：1．B   2．B   3．A  4．C  5．D 

6． ； ；

5．总结提炼

（1） ， 的定义域均为 ．

（2） 、 的值域都是

（3）有界性：  

（4）最大值或最小值都存在，且取得极值的 集合为无限集．

（5）正负敬意及零点，从图上一目了然．

（6）单调区间也可以从图上看出．

（五）板书设计 

课后思考题：求函数 的最大值和最小值及取最值时的 集合

提示：