华应龙执教的“莫比乌丝圈”
来源:网络整理发布时间:2015-04-25
“莫比乌丝圈”是北师大版五年级上册的教学内容。教材中的“莫比乌丝圈”也就是很多趣味数学读物上提到的莫比乌斯带。莫比乌斯带也叫莫比乌斯圈。
莫比乌斯带是德国数学家莫比乌斯在1858年研究“四色定理”时偶然发现的一个副产品。莫比乌斯带已被作为“了解并欣赏有趣的图形”之一写进了新的数学课程。
教学实录：
一、变魔术
师：（出示一张白纸条）请拿出这样的白纸条，这张纸条有几条边？几个面
生：（齐）四条边、两个面。
师：一个正面、一个反面。现在我 会变魔术，我能把它变成只有两条边、两个面。
(师微笑着把纸条变成纸圈。)
师：是不是两条边、两个面?
生：是!
师：你会吗?
生：会!
师：我看那位同学的笑很特别，什么意思?
生：(笑着说)这没什么神奇的!
师：是啊，地球人都知道。奇妙的是我还能把它变成一条边、一个面。
(生瞪大眼睛，兴趣一下子被激发起来了。有同学在想，有同学在试。)
师：非常好，有同学在大胆尝试，有五六位同学已经做出来了。太棒了！是不是这样的?
(师把纸条放在背后操作，做成莫比乌斯圈。)
师：不想让你们看到!(师出示莫比乌斯圈)想想吧，是怎么做的?
二、做纸圈
师：(看到大多数同学都做成了)同学们可以互相帮助。看到同学们快乐的笑脸，我真高兴！我们可以这样做： (师演示)先做成一个普通的纸圈，然后将一端剪开翻180°，再用胶水粘牢。是不是一条边、一个面?怎样检验呢?
(生用手指沿着纸条的边和面各画了一圈。)
生：是一条边、一个面!
师：我们一起动手，都来检验一下吧。拿出一支水彩笔，在纸圈的中间画一条线，看看它是不是一个面。
生：真是一个面，怎么回事?
师：像这样没有里面和外面之分，只有一个面的，数学上叫单侧曲面。那么普通的纸圈有里外之分就叫——
生：双侧曲面。
师：这样一个怪怪的纸圈叫什么名字呢?有人知道吗?
生：莫比乌斯圈。
师：真不简单!你是怎么知道的?
生：看《十万个为什么》知道的。
师：是啊，我小时候也特别喜欢看《十万个为什么》。为什么叫莫比乌斯圈呢?我来告诉同学们，德国有一位数学家叫莫比乌斯，1858年，一次偶然的机会，他发现了这样一个奇妙的纸圈。所以，人们就把这样的纸圈叫莫比乌斯圈。
三、沿1/2线剪
师：我们的魔术还可以往下做，怎么做呢?刚才你不是在这个纸圈中间画了一条线吗?想一想，如果我们沿着中间这条线把这个纸圈剪开的话，会怎样呢
生：我觉得这个圈会变成两个圈。
生：我觉得会变成两个莫比乌斯圈。
生：会不会变成三个圈?
师：(看到有学生想剪了)要知道究竟，怎样办呢?
生：剪剪看。
师：是啊，实践出真知!
生：在我剪完之后，不像刚才同学们说的那样是两个圈，是连在一起的。
生：我这个也是连在一起的。
师：那是一个圈还是两个圈?
生：(齐)一个圈。
师：不过，这个圈中间有点扭起来了。我们都认为从中间剪开应该是两个圈呀，怎么会变成一个圈呢?奇怪!哪位同学能说说你的猜想?
生：因为莫比乌斯圈有一条边、一个面，所以我觉得剪开以后是一个大圈!
生：因为是粘着的，我觉得剪完后是一个整体。
师：刚才两位同学发表了很好的意见，其实每位同学都可以猜想。究竟为什么呢?你们可以继续研究。
(生在玩弄他剪出的长纸条o)
师：有新发现了，这位同学说说你的发现。
生：我也不知道怎么剪出了一张纸条。
生：他没认真看老师的示范，先从边上剪进去的。
师：对，我们是说沿中线剪开。要小心求证，不然我们还以为你有新发现了。不过，这也确实是个新发现啊o(师出示剪成的大圈)那么它还像刚才那样，只有一个面吗?
生：(齐)一个面。
师：这是我们认为的，要准确回答，该怎么办?
生：用笔画线。
师：请拿起笔来，在纸带中间画一画，看一看究竟是一个面还是两个面。
(生动手检验后，纷纷说一个面。)
师：我们看到的两个面是不是都被画上了线?
生：(恍然大悟)不是，只画了一面，没有画到另一面。
师：那这个纸圈是不是单侧曲面呢?
生：不是。
师：是个双侧曲面。所以有时候研究问题不能只在脑子里想象，还要亲自去做一做。做完以后，还得小心看准了。现在纸带中间又画了一线条，如果再沿着这条线剪开，想一想，又会是什么结果呢?
生：还是一个圈。
生：我觉得是两个圈。
师：大家做做看。
(生动手操作，师也动手操作。)
生：是两个套着的圈，真奇怪!
师：这次同学们猜两个圈还真是两个圈，不过这两个圈是——
生：是套着的。
师：对，是套在一起的。真奇妙!现在，你们有什么想法吗?
生：老师，还能剪。
师：还想再剪是吗?如果再剪会怎么样呢?我还真没试过。还有其他想法吗
生：我觉得这太神奇了，可是我想知道这是怎么回事。
师：(赞许地点了点头)还有其他想法吗?
生：我觉得这个圈本来应该分开的，为什么会慢慢地又缠在一起了?
师：这样的纸圈确实有很多奥秘，值得我们去研究。
四、沿1/3线剪
师：我们继续来感受这个纸圈的神奇，好吗?请同学们拿出那张黄纸条，在黄纸条上画三等分线。请把中间的部分涂上你喜欢的颜色，两面都涂。
师：好，现在你们有什么想法?
生：能沿着线把这个莫比乌斯圈剪开吗?
师：可以的。如果我们沿着三等分线把这个莫比乌斯圈剪开的话，需要剪几次呢?
生：(齐)两次。
师：剪完以后会是什么样子呢?
生：我觉得剪完后可能会是三个圈套在一起。
生：我觉得会变成一个大圈。
师：真佩服你的想象力。那究竟会怎么样，还是动手去做一做。
生：剪一次就可以了。
师：明明是两条线，怎么剪一次就可以了?
师：剪成了几个圈?
生：两个。
生：一个大圈套着一个小圈。
生：小圈是单侧曲面，大圈是双侧曲面。
五、自主玩
师：刚才我们将一张普通的纸条拧、粘、剪，感受到了莫比乌斯圈的变幻莫测、神奇无比。我想接下来的时间就完全交给同学们了，现在发挥你们的聪明才智，自己去想象、设计、制作。请拿出另一张白色纸条。刚才我们是拧了180°，想一想还可以怎么拧。刚才我们是沿1/2、1/3线剪的，现在想一想怎么剪。哪位同学有特别好的创意，老师将奖给他红色纸条继续设计。
(屏幕上出示经典的莫比乌斯圈图案，生创作，师巡视，询问夸奖，发放奖品。)
师：刚才是我们各自在创造，现在小组内的同学相互交流欣赏。说说你是怎么做的，怎么旋转的，怎么剪开的。是两个套在一起的圈。
生：我帮他纠正一下，把纸条一端旋转360°做成的纸圈不是莫比乌斯圈。
师：那它是什么?
生：它是一个双侧曲面的圈。
生：这两个圈的大小一样。
生：我得到一个结论：把纸条一端旋转180°的奇数倍做的圈是单侧曲面，而旋转180°的偶数倍做成的圈是双侧曲面。
师：真棒!他不但动手做，还动脑想了。那这个规律到底对不对呢?除了多次实验，还要从理论上去证明。现在，我提议大家为他的大胆猜想鼓掌!共剪了两次，但结果也是两个套在一起的、大小一样的双侧曲面的纸圈。
师：刚才我们已经创造和分享了莫比乌斯圈的神奇。我想肯定还有很多同学想继续去探究，咱们现在暂停。
六、发明应用
师：在咱们西城区有一个莫比乌斯爬梯，有人玩过吗?
生：我玩的时候上上下下有十圈，累得我满头大汗，最后还是回到原地。
师：哈哈哈!原来你们只是觉得好玩，现在你们知道是怎么回事了吗?
生：知道了!
师：莫比乌斯圈不但好玩还好用呢。想想看，莫比乌斯圈可以在哪些地方用上呢?
生：家里有胖孩子的，妈妈就可以设计一个莫比乌斯跑道，让她的儿子减肥。
生：有的过山车就是这样的。
生：我觉得可以把楼梯建成莫比乌斯圈的形状。
师：很大胆的一个猜想，说不定有朝一日，我们的楼梯就像他讲的那样，我上去一会儿又下来了。
生：我觉得环线地铁也可以是莫比乌斯圈样的。
师：多好的想法!问题是当地铁沿着莫比乌斯轨道转着转着的时候，会转到哪儿去呢?
生：可以做一个莫比乌斯圈的能循环的磁带，听时，不用拿出磁带，a、b两面都能听。
师：多有价值的创意，应该申请专利。唉，只可惜这个创意我们稍微迟了一点，已经被一个日本人申请了。
生：水流可以用莫比乌斯圈让它循环。
师：哈哈……把水重新利用一下，好想法，谢谢这位女同学!她的想法，让我想到针式打印机的色带，它就是让墨水流到用莫比乌斯圈原理做成的色带上，充分利用了色带的表面。
七、说收获与遗憾
师：很可惜我们的时间到了，上了今天这节课你有什么收获或遗憾?
生：通过这节课我知道了什么是莫比乌斯圈。
生：我的遗憾是没有想出日常生活中可以用上莫比乌斯圈只有一条边、一个面。
生：我知道莫比乌斯圈了，遗憾的是我不能多剪几次。
师：那是怪华老师没有给大家更多的时间，这样，课下再试试好不好?
生：(首先想到用莫比乌斯圈原理做成磁带的男孩)唉——我妈妈早生我几年就好了。
(全班同学都笑了。)
师：好了，同学们，大家通过今天这节课的学习，是不是对莫比乌斯圈还有很多疑问呢?还有很多为什么没能解答，有的问题华老师也不怎么清楚。我告诉大家，数学中有一门专门研究莫比乌斯圈的学问叫拓扑学。 (师板书：拓扑学)课下，有兴趣的同学可以继续去研究，好不好?中国科技馆的大厅里就耸立着一巨型的三叶扭结，这个三叶扭结就是根据莫比乌斯圈的原理设计的。它每天不停地旋转着，美妙的曲线，让我们享受着数学的神奇和无限的遐想……
名师的课，值得学习：
1、 对导入的处理
华老师的课，开始时老师表演了一个魔术，剪断信封而其中的绳子不断。他的用意在于引导学生观察与质疑，并且直到最后，他也没给出答案，这与他的整节课的设计思路是有关系的，他的课，观察与质疑贯穿了始终。数学课不能仅仅是游戏课，不能上成手工课，质疑、尝试、操作、交流、小结这样的思考过程，是必须始终居于要位的。
2、对质疑的引导
课堂的整个过程，华老师以到位的教学智慧，引导学生提出问题，并且最终得以“是不是一条边”“是不是一个面”“为什么会变成一条边”“为什么会变成一个面”“有什么用处”这样的有层次而富有思考性的5个问题串起了整节课。在学生一时提不出更好的问题时，他没有急躁，而是耐心地倾听和等待，使得有思考价值的问题得以出现。
3、对“准备”的思考
华老师上这节课，其实有不少地方是挺“粗糙”的。例如他是回到自己四年前工作的学校来上示范课，选用了自己当时教过的学生，由于这一点，他一直努力地唤醒学生的往昔回忆，并尽量唤出学生的名字。但是，前者由于学生的年龄，当年应当只是一二年级的孩子吧，对师生之情能够有多少回忆呢？总之反应平平。后者，则出现了多次错误，指鹿为马的场景一再上演，那么这是不是弄巧成拙呢？这准备应当说是挺不够的了，当然名师往往如惊鸿掠影，来去匆匆，没有办法做足够的准备。最让我感动的是华老师对突发事件的回应，显得那么从容。当华老师正准备说话时，话筒突然发出刺耳的长音，这是很多公开课上都曾出现的，多数老师都置之不理，等其结束。只有华老师接着说：“这就是我发出的声音，很浑厚吧。”孩子们都笑了，气氛也顿时愉悦了许多。在课即将结束的时候，又出现的状况，电脑突然死机了，换做很多老师，都会手足无措，只顾自己摆弄电脑，学生也只有傻坐着。“死了就死了吧”一句简单的话却让课堂继续着精彩。对比起来，平时年轻老师上课，反而是在这些方面做了充分准备的。但是，我们对学生可能的生成，教学要点的安排，引导的方式技巧却准备得很不够，思考局限于低的水平，离“成竹在胸、游刃有余”真是差之甚远。所以说，在对技术工具的注重之外，年轻的教师还应当要加强对一节课的数学内涵、思维方式及至引导技巧的思考。
莫比乌斯带是德国数学家莫比乌斯在1858年研究“四色定理”时偶然发现的一个副产品。莫比乌斯带已被作为“了解并欣赏有趣的图形”之一写进了新的数学课程。
教学实录：
一、变魔术
师：（出示一张白纸条）请拿出这样的白纸条，这张纸条有几条边？几个面
生：（齐）四条边、两个面。
师：一个正面、一个反面。现在我 会变魔术，我能把它变成只有两条边、两个面。
(师微笑着把纸条变成纸圈。)
师：是不是两条边、两个面?
生：是!
师：你会吗?
生：会!
师：我看那位同学的笑很特别，什么意思?
生：(笑着说)这没什么神奇的!
师：是啊，地球人都知道。奇妙的是我还能把它变成一条边、一个面。
(生瞪大眼睛，兴趣一下子被激发起来了。有同学在想，有同学在试。)
师：非常好，有同学在大胆尝试，有五六位同学已经做出来了。太棒了！是不是这样的?
(师把纸条放在背后操作，做成莫比乌斯圈。)
师：不想让你们看到!(师出示莫比乌斯圈)想想吧，是怎么做的?
二、做纸圈
师：(看到大多数同学都做成了)同学们可以互相帮助。看到同学们快乐的笑脸，我真高兴！我们可以这样做： (师演示)先做成一个普通的纸圈，然后将一端剪开翻180°，再用胶水粘牢。是不是一条边、一个面?怎样检验呢?
(生用手指沿着纸条的边和面各画了一圈。)
生：是一条边、一个面!
师：我们一起动手，都来检验一下吧。拿出一支水彩笔，在纸圈的中间画一条线，看看它是不是一个面。
生：真是一个面，怎么回事?
师：像这样没有里面和外面之分，只有一个面的，数学上叫单侧曲面。那么普通的纸圈有里外之分就叫——
生：双侧曲面。
师：这样一个怪怪的纸圈叫什么名字呢?有人知道吗?
生：莫比乌斯圈。
师：真不简单!你是怎么知道的?
生：看《十万个为什么》知道的。
师：是啊，我小时候也特别喜欢看《十万个为什么》。为什么叫莫比乌斯圈呢?我来告诉同学们，德国有一位数学家叫莫比乌斯，1858年，一次偶然的机会，他发现了这样一个奇妙的纸圈。所以，人们就把这样的纸圈叫莫比乌斯圈。
三、沿1/2线剪
师：我们的魔术还可以往下做，怎么做呢?刚才你不是在这个纸圈中间画了一条线吗?想一想，如果我们沿着中间这条线把这个纸圈剪开的话，会怎样呢
生：我觉得这个圈会变成两个圈。
生：我觉得会变成两个莫比乌斯圈。
生：会不会变成三个圈?
师：(看到有学生想剪了)要知道究竟，怎样办呢?
生：剪剪看。
师：是啊，实践出真知!
生：在我剪完之后，不像刚才同学们说的那样是两个圈，是连在一起的。
生：我这个也是连在一起的。
师：那是一个圈还是两个圈?
生：(齐)一个圈。
师：不过，这个圈中间有点扭起来了。我们都认为从中间剪开应该是两个圈呀，怎么会变成一个圈呢?奇怪!哪位同学能说说你的猜想?
生：因为莫比乌斯圈有一条边、一个面，所以我觉得剪开以后是一个大圈!
生：因为是粘着的，我觉得剪完后是一个整体。
师：刚才两位同学发表了很好的意见，其实每位同学都可以猜想。究竟为什么呢?你们可以继续研究。
(生在玩弄他剪出的长纸条o)
师：有新发现了，这位同学说说你的发现。
生：我也不知道怎么剪出了一张纸条。
生：他没认真看老师的示范，先从边上剪进去的。
师：对，我们是说沿中线剪开。要小心求证，不然我们还以为你有新发现了。不过，这也确实是个新发现啊o(师出示剪成的大圈)那么它还像刚才那样，只有一个面吗?
生：(齐)一个面。
师：这是我们认为的，要准确回答，该怎么办?
生：用笔画线。
师：请拿起笔来，在纸带中间画一画，看一看究竟是一个面还是两个面。
(生动手检验后，纷纷说一个面。)
师：我们看到的两个面是不是都被画上了线?
生：(恍然大悟)不是，只画了一面，没有画到另一面。
师：那这个纸圈是不是单侧曲面呢?
生：不是。
师：是个双侧曲面。所以有时候研究问题不能只在脑子里想象，还要亲自去做一做。做完以后，还得小心看准了。现在纸带中间又画了一线条，如果再沿着这条线剪开，想一想，又会是什么结果呢?
生：还是一个圈。
生：我觉得是两个圈。
师：大家做做看。
(生动手操作，师也动手操作。)
生：是两个套着的圈，真奇怪!
师：这次同学们猜两个圈还真是两个圈，不过这两个圈是——
生：是套着的。
师：对，是套在一起的。真奇妙!现在，你们有什么想法吗?
生：老师，还能剪。
师：还想再剪是吗?如果再剪会怎么样呢?我还真没试过。还有其他想法吗
生：我觉得这太神奇了，可是我想知道这是怎么回事。
师：(赞许地点了点头)还有其他想法吗?
生：我觉得这个圈本来应该分开的，为什么会慢慢地又缠在一起了?
师：这样的纸圈确实有很多奥秘，值得我们去研究。
四、沿1/3线剪
师：我们继续来感受这个纸圈的神奇，好吗?请同学们拿出那张黄纸条，在黄纸条上画三等分线。请把中间的部分涂上你喜欢的颜色，两面都涂。
师：好，现在你们有什么想法?
生：能沿着线把这个莫比乌斯圈剪开吗?
师：可以的。如果我们沿着三等分线把这个莫比乌斯圈剪开的话，需要剪几次呢?
生：(齐)两次。
师：剪完以后会是什么样子呢?
生：我觉得剪完后可能会是三个圈套在一起。
生：我觉得会变成一个大圈。
师：真佩服你的想象力。那究竟会怎么样，还是动手去做一做。
生：剪一次就可以了。
师：明明是两条线，怎么剪一次就可以了?
师：剪成了几个圈?
生：两个。
生：一个大圈套着一个小圈。
生：小圈是单侧曲面，大圈是双侧曲面。
五、自主玩
师：刚才我们将一张普通的纸条拧、粘、剪，感受到了莫比乌斯圈的变幻莫测、神奇无比。我想接下来的时间就完全交给同学们了，现在发挥你们的聪明才智，自己去想象、设计、制作。请拿出另一张白色纸条。刚才我们是拧了180°，想一想还可以怎么拧。刚才我们是沿1/2、1/3线剪的，现在想一想怎么剪。哪位同学有特别好的创意，老师将奖给他红色纸条继续设计。
(屏幕上出示经典的莫比乌斯圈图案，生创作，师巡视，询问夸奖，发放奖品。)
师：刚才是我们各自在创造，现在小组内的同学相互交流欣赏。说说你是怎么做的，怎么旋转的，怎么剪开的。是两个套在一起的圈。
生：我帮他纠正一下，把纸条一端旋转360°做成的纸圈不是莫比乌斯圈。
师：那它是什么?
生：它是一个双侧曲面的圈。
生：这两个圈的大小一样。
生：我得到一个结论：把纸条一端旋转180°的奇数倍做的圈是单侧曲面，而旋转180°的偶数倍做成的圈是双侧曲面。
师：真棒!他不但动手做，还动脑想了。那这个规律到底对不对呢?除了多次实验，还要从理论上去证明。现在，我提议大家为他的大胆猜想鼓掌!共剪了两次，但结果也是两个套在一起的、大小一样的双侧曲面的纸圈。
师：刚才我们已经创造和分享了莫比乌斯圈的神奇。我想肯定还有很多同学想继续去探究，咱们现在暂停。
六、发明应用
师：在咱们西城区有一个莫比乌斯爬梯，有人玩过吗?
生：我玩的时候上上下下有十圈，累得我满头大汗，最后还是回到原地。
师：哈哈哈!原来你们只是觉得好玩，现在你们知道是怎么回事了吗?
生：知道了!
师：莫比乌斯圈不但好玩还好用呢。想想看，莫比乌斯圈可以在哪些地方用上呢?
生：家里有胖孩子的，妈妈就可以设计一个莫比乌斯跑道，让她的儿子减肥。
生：有的过山车就是这样的。
生：我觉得可以把楼梯建成莫比乌斯圈的形状。
师：很大胆的一个猜想，说不定有朝一日，我们的楼梯就像他讲的那样，我上去一会儿又下来了。
生：我觉得环线地铁也可以是莫比乌斯圈样的。
师：多好的想法!问题是当地铁沿着莫比乌斯轨道转着转着的时候，会转到哪儿去呢?
生：可以做一个莫比乌斯圈的能循环的磁带，听时，不用拿出磁带，a、b两面都能听。
师：多有价值的创意，应该申请专利。唉，只可惜这个创意我们稍微迟了一点，已经被一个日本人申请了。
生：水流可以用莫比乌斯圈让它循环。
师：哈哈……把水重新利用一下，好想法，谢谢这位女同学!她的想法，让我想到针式打印机的色带，它就是让墨水流到用莫比乌斯圈原理做成的色带上，充分利用了色带的表面。
七、说收获与遗憾
师：很可惜我们的时间到了，上了今天这节课你有什么收获或遗憾?
生：通过这节课我知道了什么是莫比乌斯圈。
生：我的遗憾是没有想出日常生活中可以用上莫比乌斯圈只有一条边、一个面。
生：我知道莫比乌斯圈了，遗憾的是我不能多剪几次。
师：那是怪华老师没有给大家更多的时间，这样，课下再试试好不好?
生：(首先想到用莫比乌斯圈原理做成磁带的男孩)唉——我妈妈早生我几年就好了。
(全班同学都笑了。)
师：好了，同学们，大家通过今天这节课的学习，是不是对莫比乌斯圈还有很多疑问呢?还有很多为什么没能解答，有的问题华老师也不怎么清楚。我告诉大家，数学中有一门专门研究莫比乌斯圈的学问叫拓扑学。 (师板书：拓扑学)课下，有兴趣的同学可以继续去研究，好不好?中国科技馆的大厅里就耸立着一巨型的三叶扭结，这个三叶扭结就是根据莫比乌斯圈的原理设计的。它每天不停地旋转着，美妙的曲线，让我们享受着数学的神奇和无限的遐想……
名师的课，值得学习：
1、 对导入的处理
华老师的课，开始时老师表演了一个魔术，剪断信封而其中的绳子不断。他的用意在于引导学生观察与质疑，并且直到最后，他也没给出答案，这与他的整节课的设计思路是有关系的，他的课，观察与质疑贯穿了始终。数学课不能仅仅是游戏课，不能上成手工课，质疑、尝试、操作、交流、小结这样的思考过程，是必须始终居于要位的。
2、对质疑的引导
课堂的整个过程，华老师以到位的教学智慧，引导学生提出问题，并且最终得以“是不是一条边”“是不是一个面”“为什么会变成一条边”“为什么会变成一个面”“有什么用处”这样的有层次而富有思考性的5个问题串起了整节课。在学生一时提不出更好的问题时，他没有急躁，而是耐心地倾听和等待，使得有思考价值的问题得以出现。
3、对“准备”的思考
华老师上这节课，其实有不少地方是挺“粗糙”的。例如他是回到自己四年前工作的学校来上示范课，选用了自己当时教过的学生，由于这一点，他一直努力地唤醒学生的往昔回忆，并尽量唤出学生的名字。但是，前者由于学生的年龄，当年应当只是一二年级的孩子吧，对师生之情能够有多少回忆呢？总之反应平平。后者，则出现了多次错误，指鹿为马的场景一再上演，那么这是不是弄巧成拙呢？这准备应当说是挺不够的了，当然名师往往如惊鸿掠影，来去匆匆，没有办法做足够的准备。最让我感动的是华老师对突发事件的回应，显得那么从容。当华老师正准备说话时，话筒突然发出刺耳的长音，这是很多公开课上都曾出现的，多数老师都置之不理，等其结束。只有华老师接着说：“这就是我发出的声音，很浑厚吧。”孩子们都笑了，气氛也顿时愉悦了许多。在课即将结束的时候，又出现的状况，电脑突然死机了，换做很多老师，都会手足无措，只顾自己摆弄电脑，学生也只有傻坐着。“死了就死了吧”一句简单的话却让课堂继续着精彩。对比起来，平时年轻老师上课，反而是在这些方面做了充分准备的。但是，我们对学生可能的生成，教学要点的安排，引导的方式技巧却准备得很不够，思考局限于低的水平，离“成竹在胸、游刃有余”真是差之甚远。所以说，在对技术工具的注重之外，年轻的教师还应当要加强对一节课的数学内涵、思维方式及至引导技巧的思考。