正方体的截面怎么切,高二数学立体几何

来源:未知发布时间:2019-10-04

 

方体的截面,就是用平面去切割正方体,所得到的切割面。我们可以用刀片切割正方体形状的萝卜,在实践中观察正方体的截面;也可以用空间想象的方法,在数学的逻辑推理中得出正方体的截面。
 
       北师大版教材八上第一章第三小节《截一个几何体》中讲到了正方体的截面:用平面去截一个正方体,由于正方体只有6个面,用平面去切正方体,最多只能与6个面相交,所以所得截面可能是三角形,四边形,五边形,六边形,如下面微课所讲,这里不一一赘述。
问题提出
以三角形截面为例,三角形的形状可以是任意形状吗?
典型例题
2016-2017南山区八年级数学期末统一考试考了这样一道数学题目:
20、在八年级读书的杨洋听到学弟在讨论数学问题,请你帮杨洋的学弟乙正确回答问题,并帮他证明.
学弟甲:用平面去截一个立方体,截面的形状可以是三角形吗?
学弟乙:肯定可以啊!
学弟甲:那截面的形状可以是直角三角形吗?
学弟乙:我觉得 ____(填“可以”或者“不可以”)
(第20题图)
学弟甲:空口无凭,必须进行有根有据的证明!
分析:要探究三角形截面的形状,从边的大小来看,可以分为等腰三角形、等边三角形;从角的大小来看,可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
   此题要探究三角形截面是否为直角三角形?需要表示出三条边,然后用勾股定理逆定理来判定。
解:如图,设OA=a,OB=b,OC=c,
在RtΔOAC 、RtΔOAB、RtΔOBC中,先由勾股定理依次得:
AC²=a²+c²
AB²= a²+b²
BC²= b²+c²
若△ ABC是直角三角形,不妨设AC为最长边,则
AC²= AB²+BC².
a²+c²= a²+b²+ b²+c².
得b²=0,则b=0,与截面为三角形矛盾,
所以不可能是直角三角形.
   实际上,三角形不可能是直角三角形和钝角三角形,只能是锐角三角形。
在△ ABC中,由余弦定理(点击左下角“阅读原文”可详细查看余弦定理)可得
则在三角形中,
cos∠CAB>0,∠CAB为锐角;
同理
cos∠ABC>0, ∠ABC为锐角;
cos∠ACB>0, ∠ACB为锐角;
∴△ABC为锐角三角形。
 

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