不等式的证明课前预习
来源:未知发布时间:2011-07-20
学法导引
证明不等式就是要证明所给不等式在给定条件下恒成立．由于不等式的形式多种多样，所以不等式的证明方法也灵活多样．在学习中，要切实掌握常见证明方法的基本要领，着眼于培养自己的能力，能针对具体问题进行具体分析，灵活地运用各种证法，必要时，可以并且应该综合运用它们去证明同一个问题．
知识要点精讲
1．比较法是最基本、最重要的证明方法．它有作差比较法和作商比较法两种形式．
2．综合法是根据不等式的性质和已经证明过的不等式来证明所给不等式的证明方法．
（1）用综合法证明不等式的逻辑关系是：
（已知）（逐步推演不等式成立的必要条件）（结论）
由此可见，综合法是“由因导果”，即由已知条件出发，推导出所要证明的不等式成立；
（2）运用不等式的性质和已证明过的不等式时，要注意它们各自成立的条件，这样才能推理正确、结论无误．
3．分析法也是证明不等式时一种常用的基本方法，当证明不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决．特别对于条件简单而结论复杂的题目往往更是行之有效．另外对于恒等式的证明，也同样可以运用分析法．
用分析法论证“若A则B”这个命题的模式是：
这只需证明命题A为真，
而已知A为真，故B必真．
可见分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法．
（结论）（步步寻求不等式成立的充分条件）（已知）
4．不等式的证明方法还有“放缩法”、“换元法”、“反证法”、“判别式法”、“数学归纳法”、“函数单调性法”等．
思维整合
【重点】本节的重点是作差比较法和综合法．
1．作差比较法的关键是对差式进行合理的变形．目的在于能判断差的符号，而不必考虑差的具体值是多少．常见的变形方式有：配方、通分、因式分解等．有时把差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个数的平方和的形式，或者变形为一个分式，或者变形为几个因式之积的形式等．总之，能够判断出差的符号是正或负即可．
2．综合法的关键是选择恰当的出发点．为此要认真分析条件和结论之间的联系与差异，紧扣条件，结合已有的定理与性质，逐步推理，向目标靠拢．一般地，可以结合分析法来探索证题的途径和出发点．运用综合法时要注意每一步推理都要有根有据．
【难点】本节的难点主要是综合法以及分析法的运用．对于综合法的运用已如上所述．至于分析法的正确运用，首先要理解它的本质是从结论分析出使结论成立的“充分”条件，其次是要学会正确使用连接有关（分析推理）步骤的关键词．如“为了证明”“只需证明”“即证”等．另外不等式的其他证明方法也是本节的难点．
【易错点】1．不能正确运用不等式的性质，进行逻辑推理时条件不充分；2．不能正确理解分析法的本质及其表述方式．
例：设a，b，c，d都是小于1的正数，求证：4a（1－b），4b（1－c），4c（1－d），4d（1－a）这四个数不可能都大于1．
［解析］因为要证明的目标是这四个数不可能都大于1，所以可考虑采用反证法．
［证明］假设4a（1－b）＞1，4b（1－c）＞1，4c（1－d）＞1，4d（1－a）＞1，则有将上面各式相加得2＞2，矛盾．
∴4a（1－b），4b（1－c），4c（1－d），4d（1－a）这四个数不可能都大于1．
点拨当所要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“都”、“都是”“都不是”等关联词时，可考虑用反证法，另外直接证明不易时也可考虑用反证法．
［解析］ 问题相当于求实数a的范围，而其中的b、c只起参数作用，若能设法利用b、c建立起关于a的不等式则可解．
点拨涉及已知条件为等式而要证明不等式的问题，常见的思考方向是消元、放缩，一般地，如果待证不等式与某变量的一元二次方程或不等式有联系，则可利用其判别式的值的符号来证明，这种证明不等式的方法称为判别式法．
能力升级平台
【综合能力升级】
不等式的证明过程是一个把已知条件向待证结论的转化过程，既可考查基础知识和基本方法，又可考查分析问题和解决问题的能力，所以高考考查代数推理能力的重要题材、命题趋势和热点都是将不等式的证明融会于函数、方程、数列、三角等问题中，或者说以这些内容为载体来考查不等式的证明．
［解析］因为如何有效利用已知条件不太明确，可以采用分析法来探求．
点拨灵活运用同角三角函数的关系与分析法，使这一问题轻松解决，涉及综合题中的不等式的证明问题，在证明时要能熟练运用相关知识和方法来分析和解决．
［解析］待证的不等式中a、b、c分别在三个独立的代数式中，尽管形式整齐，地位一致，但好像联系不起来．如果对左式进行放缩，使左式分母均为1＋a＋b会如何?
点拨对待证不等式的左式恰当放缩，使之分母相同，为进行通分创造了条件．另外，即使是在同一问题中，也可以综合地运用各种方法来证明．类似地可以证明.
【应用创新能力升级】
由于不等式在数学中地位的重要性，它在各章节中都有广泛的应用，以不等式的性质和证明为题材的问题层出不穷，常考常新．在解此类问题时，应以不等式的性质和基本的证明方法为基础，结合问题本身的特征和相关知识来探求问题的解决方法．
尽管此结论很有趣，但背离了待证的目标．因此解决数学问题时的思维活动，不仅体现在动手之前，也应该体现在解题过程中以及解题完成之后．
点拨上述证明过程中，两次用到均值不等式来放缩，合理放缩是证明不等式的思维原则，在放缩过程中要充分利用已知条件，还要始终瞄准放缩的最终目标．
高考热点点拨
不等式问题中蕴含着丰富的函数思想，不等式为研究函数问题提供了重要工具，不等式与函数既是知识的结合点，又是数学知识与数学方法的交汇点，因而在历年的高考题中始终是重中之重．与函数、数列有关的不等式的证明是近年来高考命题的新热点．
证明不等式就是要证明所给不等式在给定条件下恒成立．由于不等式的形式多种多样，所以不等式的证明方法也灵活多样．在学习中，要切实掌握常见证明方法的基本要领，着眼于培养自己的能力，能针对具体问题进行具体分析，灵活地运用各种证法，必要时，可以并且应该综合运用它们去证明同一个问题．
知识要点精讲
1．比较法是最基本、最重要的证明方法．它有作差比较法和作商比较法两种形式．
2．综合法是根据不等式的性质和已经证明过的不等式来证明所给不等式的证明方法．
（1）用综合法证明不等式的逻辑关系是：
（已知）（逐步推演不等式成立的必要条件）（结论）
由此可见，综合法是“由因导果”，即由已知条件出发，推导出所要证明的不等式成立；
（2）运用不等式的性质和已证明过的不等式时，要注意它们各自成立的条件，这样才能推理正确、结论无误．
3．分析法也是证明不等式时一种常用的基本方法，当证明不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决．特别对于条件简单而结论复杂的题目往往更是行之有效．另外对于恒等式的证明，也同样可以运用分析法．
用分析法论证“若A则B”这个命题的模式是：
这只需证明命题A为真，
而已知A为真，故B必真．
可见分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法．
（结论）（步步寻求不等式成立的充分条件）（已知）
4．不等式的证明方法还有“放缩法”、“换元法”、“反证法”、“判别式法”、“数学归纳法”、“函数单调性法”等．
思维整合
【重点】本节的重点是作差比较法和综合法．
1．作差比较法的关键是对差式进行合理的变形．目的在于能判断差的符号，而不必考虑差的具体值是多少．常见的变形方式有：配方、通分、因式分解等．有时把差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个数的平方和的形式，或者变形为一个分式，或者变形为几个因式之积的形式等．总之，能够判断出差的符号是正或负即可．
2．综合法的关键是选择恰当的出发点．为此要认真分析条件和结论之间的联系与差异，紧扣条件，结合已有的定理与性质，逐步推理，向目标靠拢．一般地，可以结合分析法来探索证题的途径和出发点．运用综合法时要注意每一步推理都要有根有据．
【难点】本节的难点主要是综合法以及分析法的运用．对于综合法的运用已如上所述．至于分析法的正确运用，首先要理解它的本质是从结论分析出使结论成立的“充分”条件，其次是要学会正确使用连接有关（分析推理）步骤的关键词．如“为了证明”“只需证明”“即证”等．另外不等式的其他证明方法也是本节的难点．
【易错点】1．不能正确运用不等式的性质，进行逻辑推理时条件不充分；2．不能正确理解分析法的本质及其表述方式．
例：设a，b，c，d都是小于1的正数，求证：4a（1－b），4b（1－c），4c（1－d），4d（1－a）这四个数不可能都大于1．
［解析］因为要证明的目标是这四个数不可能都大于1，所以可考虑采用反证法．
［证明］假设4a（1－b）＞1，4b（1－c）＞1，4c（1－d）＞1，4d（1－a）＞1，则有将上面各式相加得2＞2，矛盾．
∴4a（1－b），4b（1－c），4c（1－d），4d（1－a）这四个数不可能都大于1．
点拨当所要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“都”、“都是”“都不是”等关联词时，可考虑用反证法，另外直接证明不易时也可考虑用反证法．
［解析］ 问题相当于求实数a的范围，而其中的b、c只起参数作用，若能设法利用b、c建立起关于a的不等式则可解．
点拨涉及已知条件为等式而要证明不等式的问题，常见的思考方向是消元、放缩，一般地，如果待证不等式与某变量的一元二次方程或不等式有联系，则可利用其判别式的值的符号来证明，这种证明不等式的方法称为判别式法．
能力升级平台
【综合能力升级】
不等式的证明过程是一个把已知条件向待证结论的转化过程，既可考查基础知识和基本方法，又可考查分析问题和解决问题的能力，所以高考考查代数推理能力的重要题材、命题趋势和热点都是将不等式的证明融会于函数、方程、数列、三角等问题中，或者说以这些内容为载体来考查不等式的证明．
［解析］因为如何有效利用已知条件不太明确，可以采用分析法来探求．
点拨灵活运用同角三角函数的关系与分析法，使这一问题轻松解决，涉及综合题中的不等式的证明问题，在证明时要能熟练运用相关知识和方法来分析和解决．
［解析］待证的不等式中a、b、c分别在三个独立的代数式中，尽管形式整齐，地位一致，但好像联系不起来．如果对左式进行放缩，使左式分母均为1＋a＋b会如何?
点拨对待证不等式的左式恰当放缩，使之分母相同，为进行通分创造了条件．另外，即使是在同一问题中，也可以综合地运用各种方法来证明．类似地可以证明.
【应用创新能力升级】
由于不等式在数学中地位的重要性，它在各章节中都有广泛的应用，以不等式的性质和证明为题材的问题层出不穷，常考常新．在解此类问题时，应以不等式的性质和基本的证明方法为基础，结合问题本身的特征和相关知识来探求问题的解决方法．
尽管此结论很有趣，但背离了待证的目标．因此解决数学问题时的思维活动，不仅体现在动手之前，也应该体现在解题过程中以及解题完成之后．
点拨上述证明过程中，两次用到均值不等式来放缩，合理放缩是证明不等式的思维原则，在放缩过程中要充分利用已知条件，还要始终瞄准放缩的最终目标．
高考热点点拨
不等式问题中蕴含着丰富的函数思想，不等式为研究函数问题提供了重要工具，不等式与函数既是知识的结合点，又是数学知识与数学方法的交汇点，因而在历年的高考题中始终是重中之重．与函数、数列有关的不等式的证明是近年来高考命题的新热点．