三次函数的性质及应用
来源:未知发布时间:2019-11-01
三次函数早已变成中学阶段一个关键的函数,在今年高考和一些重特大考试时经常出現相关它的独立问题。2004年今年高考,在江苏省卷、浙江省卷、天津市卷、重庆市卷、湖北省卷中出現了这一函数的独立问题,非常是湖北省卷以重点题的方式出現,更应当造成人们的看重。单调性和对称最能体现这一函数的特点。下边人们就来讨论一下它的单调性、对称及其图象变化趋势。
函数的导函数为。人们何不把方程称之为原函数的导方程,其判别式。若,设其二根为,则可获得下列性质:
性质1:函数,
若,那时候,y=f(x)是增函数;那时候,其简单增长区段是,简单增长区段是;
若,那时候,是减函数;那时候,其简单下降区段是,,简单增长区段是。
(证明材料略)
推理:函数,那时候,找不到极大值和极小值;那时候,有极大值、极小值。
依据a和的不一样状况,其图象特点分別为:
图1
性质2:函数若,且,则:
;
。
(证明材料略)
性质3:函数是中心对称图形,其对称中心是()。
证明材料:设函数的对称中心为(m,n)。
按向量将函数的图象平移,则个人所得函数是奇函数,因此
化简得:
上式对恒创立,故
,得
,
。
因此,函数的对称中心是()。
看得见,y=f(x)图象的对称中心在导函数y=的对称轴上,且也是2个极值点的圆心。
下边我们一起来感受一下怎样运用这种性质迅速、精确地解决问题。
例1. 设是函数f(x)的导函数,的图象如图已知2图示,则y=f(x)的图象最有将会是( )
图2
图3
解:依据图象特点,何不设f(x)是三次函数。则的图象得出了以下信息内容:
①;
②导方程二根是0,2,(f(x)对称中心的横坐标是1);
③在(0,2)上;在(-,0)或(2,)上。
由①和性质1可清除B、D;由③和性质1明确选C。
例2. 函数在闭区段[-3,0]上的最高值、最小值分別是( )
A. 1,-1
B. 1,-17
C. 3,-17
D. 9,-19
解:函数的导方程是,二根为1和-1,由性质2得:
,
。
故选C。
例3. 已知函数在x=±1处获得极值。
(I)探讨f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值還是极小值;
(II)过点A(0,16)作曲线图y=f(x)的断线,求此切线方程。
解:(I)由于,因此导方程。
由于在x=±1处获得极值,因此,是导方程的二根,
因此
解得 a=1,b=0
因此
由推理得是f(x)的极大值;f(1)=-2是f(x)的极小值。
(II)曲线方程为,点A(0,16)没有曲线图上。
设切点为M
由于,故切线方程为
点A(0,16)在断线上,因此
解得,切点为M(-2,-2)
故所愿切线方程为
例4. 己知,函数的图象与函数的图象圆的切线。
(I)求b与c的表达式(用c表达b);
(II)设函数在()内有极值点,求c的取值范畴。
解:(I)依题意,,得
,
因此
由于
因此
(II)由于
因此F(x)的导方程为:
依性质1的推理得:
因此 ,
因此 或
解之得
故所愿c的范畴是(0,)()。
纵览左右例证,要是人们把握了函数的三条性质,在今年高考中不论是非常容易题、中等题還是难点,都能寻找确立的答题构思,答题全过程也言简意赅。即便如此,人们也要进一步加强对三次函数的单调性、极值、对称、图象变化趋势、切线方程等性质的科学研究,这也有利于提升对专业知识针对性的了解水准,扩宽答题构思。