三次函数早已变成中学阶段一个关键的函数，在今年高考和一些重特大考试时经常出現相关它的独立问题。2004年今年高考，在江苏省卷、浙江省卷、天津市卷、重庆市卷、湖北省卷中出現了这一函数的独立问题，非常是湖北省卷以重点题的方式出現，更应当造成人们的看重。单调性和对称最能体现这一函数的特点。下边人们就来讨论一下它的单调性、对称及其图象变化趋势。

函数的导函数为。人们何不把方程称之为原函数的导方程，其判别式。若，设其二根为，则可获得下列性质：

性质1：函数，

若，那时候，y＝f(x)是增函数；那时候，其简单增长区段是，简单增长区段是；

若，那时候，是减函数；那时候，其简单下降区段是，，简单增长区段是。

（证明材料略）

推理：函数，那时候，找不到极大值和极小值；那时候，有极大值、极小值。

依据a和的不一样状况，其图象特点分別为：

图1

性质2：函数若，且，则：

；

。

（证明材料略）

性质3：函数是中心对称图形，其对称中心是（）。

证明材料：设函数的对称中心为（m，n）。

按向量将函数的图象平移，则个人所得函数是奇函数，因此

化简得：

上式对恒创立，故

，得

，

。

因此，函数的对称中心是（）。

看得见，y＝f(x)图象的对称中心在导函数y＝的对称轴上，且也是2个极值点的圆心。

下边我们一起来感受一下怎样运用这种性质迅速、精确地解决问题。

例1. 设是函数f(x)的导函数，的图象如图已知2图示，则y＝f(x)的图象最有将会是（ ）

图2

图3

解：依据图象特点，何不设f(x)是三次函数。则的图象得出了以下信息内容：

①；

②导方程二根是0，2，（f(x)对称中心的横坐标是1）；

③在（0，2）上；在（－，0）或（2，）上。

由①和性质1可清除B、D；由③和性质1明确选C。

例2. 函数在闭区段[－3，0]上的最高值、最小值分別是（ ）

A. 1，－1

B. 1，－17

C. 3，－17

D. 9，－19

解：函数的导方程是，二根为1和－1，由性质2得：

，

。

故选C。

例3. 已知函数在x＝±1处获得极值。

（I）探讨f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值還是极小值；

（II）过点A（0，16）作曲线图y＝f(x)的断线，求此切线方程。

解：（I）由于，因此导方程。

由于在x＝±1处获得极值，因此，是导方程的二根，

因此

解得 a＝1，b＝0

因此 

由推理得是f(x)的极大值；f(1)＝－2是f(x)的极小值。

（II）曲线方程为，点A（0，16）没有曲线图上。

设切点为M

由于，故切线方程为

点A（0，16）在断线上，因此

解得，切点为M（－2，－2）

故所愿切线方程为

例4. 己知，函数的图象与函数的图象圆的切线。

（I）求b与c的表达式（用c表达b）；

（II）设函数在（）内有极值点，求c的取值范畴。

解：（I）依题意，，得

，

因此

由于

因此

（II）由于

因此F（x）的导方程为：

依性质1的推理得：

因此 ，

因此 或

解之得

故所愿c的范畴是（0，）（）。

纵览左右例证，要是人们把握了函数的三条性质，在今年高考中不论是非常容易题、中等题還是难点，都能寻找确立的答题构思，答题全过程也言简意赅。即便如此，人们也要进一步加强对三次函数的单调性、极值、对称、图象变化趋势、切线方程等性质的科学研究，这也有利于提升对专业知识针对性的了解水准，扩宽答题构思。