定理1：在角的平分线上的点，到这个角的两边的距离相等

定理2：到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上

互逆定理：

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理。这两个定理叫做互逆定理。其中一个叫做另一个的逆定理。

例1：下列关于三角形角平分线的说法错误的是(    )

A.两角平分线交点在三角形内 

B.两角平分线交点在第三个角的平分线上

C.两角平分线交点到三边距离相等

D.两角平分线交点到三顶点距离相等

答案：D

【解析】
A、两角平分线交点在三角形内，正确；

B、两角平分线交点在第三个角的平分线上，正确；

C、根据角平分线的性质，两角平分线交点到三边距离相等，正确；

D、根据角平分线的性质，两角平分线交点到三边距离相等，不是到三顶点距离相等，故本选项错误．

例2：下列说法中正确的是（  ）
A．等腰三角形的两个底角的角平分线所夹的角是这个等腰三角形顶角的两倍
B．在等腰三角形中“三线合一”是指等腰三角形的中线、高线、角平分线重合
C．等边对等角
D．有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

根据等腰三角形的性质逐一分析即可，等腰三角形中，等边对等角，并且顶角的平分线，底边上的中线、高线三线合一．

【解析】

A、根据题意画出图形，
设∠A=α，则∠B+∠C=180°-α，
所以∠OBC+∠OCB=180°-=90°-α．故A错误．
B、等腰三角形中三线合一，必须是等腰三角形顶角平分线，底边中线、高线三线合一．故B错误．
C、等边对等角是等腰三角形的特有性质，不能广泛应用．故C错误．
D、有一个角的等于60°的等腰三角形是等边三角形．故D正确．
故D正确．

例3：如图，△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O，则①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线；③DE是△ADC的中线；④ED是△EBC的角平分线的结论中正确的有（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

易得∠BAD=∠CAD，AE=CE，根据这两个条件判断所给选项是否正确即可．
【解析】
∵△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O，
∴∠BAD=∠CAD，AE=CE，
①在△ABE中，∠BAD=∠CAD，∴AO是△ABE的角平分线，正确；
②AO≠OD，所以BO不是△ABD的中线，错误；
③在△ADC中，AE=CE，DE是△ADC的中线，正确；
④∠ADE不一定等于∠EDC，那么ED不一定是△EBC的角平分线，错误；
正确的有2个选项．故选B．

例4：已知：如图△ ABC的角平分线BM、CN相交于点O。

求证：点O到三边AB、BC、CA的距离相等。

证明：

过点O作OD、OE、OF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F。

∵ 点O在△ABC的角平分线BM上（已知）

∴ OD=OE（角平分线上的点到角的两边距离相等）

同理 OE=OF

∴ OD=OE=OF

即点O到边AB、BC、CA的距离相等。