4．6两角和与差的正弦、余弦、正切（第二课时）

（一）教学具准备

投影仪

（二）教学目标 

1．掌握利用 得到的两角和与差的正弦公式．

2．运用 公式进行三角式的求值、化简及证明．

（三）教学过程 

1．已知 两角，我们可以利用 的三角函数去计算复合角 的余弦，那么，我们能否用 的三角函数去表达复合角 的正弦呢？本节课将研究这一问题．

2．探索研究

（1）请一位同学在黑板上写出 ， 的展开式．

．

由于公式中的 是任意实数，故我们对 实施特值代换后并不影响等号成立，为此我们曾令 ，得到 ，

两个熟悉的诱导公式，请同学们尝试一下，能否在 中对 选取特殊实数代换，使 诱变成 呢？或者说能否把 改成用余弦函数来表示呢？请同学回答．

生：可以，因为

该同学的思路非常科学，这样就把新问题 问题化归为老问题： ．

事实上：    （视“ ”为 ）

这样，我们便得到公式．

简化为 ．

由于公式中的 仍然是一切实数，请同学们再想一下，如何获得 的展开式呢？请同学回答．

生：只要在公式 中用 代替 ，就可得到：

即     

师：由此得到两个公式：

对于公式 还可以这样来推导：

说明：

（1）上述四个公式 ，虽然形式、结构不同，但它们本质是相同的，因为它们同出一脉：

这样我们只要牢固掌握“中心”公式 的由来及表达方式，就掌握了其他三个公式了．这要作为一种数学思想、一个数学方法来仔细加以体会．

（2） 、 是用 的单角函数表达复合角 的正、余弦．反之，我们不得不注意，作为公式的逆用，我们也可以用复合角 的三角函数来表达单角三角函数．诸如： ， ， 及 四种表达式，实质上是方程思想的体现：

由 得：

①

由 得

②

由 ，得：

③

由 得：

④

等式①、②、③、④在求值、证明恒等式中无疑作用是十分重大的．

（2）例题分析

【例1】  不查表，求 ， 的值．

解：

说明：我们也可以用 系统来做：

【例2】已知， ， ， ， 求， ．

分析：观察公式 和本题的条件，必须先算出 ，

解：由 ， 得

又由 ， 得

∴

【例3】不查表求值：

（1） ；

（2） ．

解：（1）

（2）

练习（投影）

（1） ， ，则 ．

（2）在△ 中，若 ，则△ 是___________．

参考答案：

（1）∴

∴

（2）由 ，

∴

∴ ， 为钝角，即△ 是钝角三角形．

【例4】求证： ．

分析：我们从角入手来分析，易见左边有复角（即两角和与差）右边全是单角，所以思路明确，就是要把复角变单角．

证明：

左边

右             ∴原式成立

如果我们本着逆用公式来看待本题，那么还可这样想：

由

令 ， 则

           ①

至于        

我们可这样分析：

∵

令 得

同理

∴①可进一步改写为：

∴ ……②

又∵

……③

由②、③得

本题还可以从函数名称来分析，左边是正、余弦函数，右边是正切函数，故可考虑从右边入手用化弦法，请同学们自己把上面过程反过来，从右边推出左边．

【例5】求证：

师：本题我们可以从角的形式来分析，左边是单角，右边是复角，如果从右边证左边则要把复角变单角（即利用和角公式）；如果从左边证右边则须配一个角 ，所以本题起码有两种证法．

证法1：右边

左边

∴原式成立

师：另一种证法根据刚才的分析要配出角 ，怎样配？大家仔细观察证法一就不难发现了．

证法2：（学生板书）

左边

右边       ∴原式成立

3．演练反馈（投影）

（1）化简

（2）已知 ，则 的值（      ）

A．不确定，可在［0、1］内取值 B．不确定，可在［－1、1］中取值

C．确定，等于1 D．确定，等于1或－1

参考答案：

（1）原式

（2）C

4．总结提炼

（1）利用“拆角”“凑角”变换是进行三角函数式求值、证明、化简的常用技巧，如： ， ， ．在三角形中， ， 等变换技巧，同学们应十分熟悉．

（2）本节课的例5，代表着一类重要题型，同学们要学习它的凑角方法，一般地 ，其中 ．

（3）在恒等式中，实施特值代换，是一类重要的数学方法——母函数法，这种方法在数学的其他学科中，均有用武之地。它反映的是特殊与一般的辨证统一关系．

（四）板书设计