射影定理是什么，高三数学立体几何
来源:未知发布时间:2019-10-10
投影定理，又称欧几里德定理：在直角三角形中，斜边的高度是斜边投影的两个右边之比的中间项。
每个右边是投影的比例介质和斜边上的直角边的斜边。
射影定理是数学图形计算中的一个重要定理。
摘要：如图所示，在RT\9651中，ABC=90°，BD是斜边AC上的高度，然后投影定理如下：
BD²=AD·CD
AB²=AC·AD
BC²=CD·AC
它是古希腊著名数学家、《几何起源》一书的作者欧几里德提出的。
证明：∵BD是斜边AC上的高
∴BD⊥AC
∴∠BDA=90°=∠ABC
又∠A=∠A，
∴△BAD∽△CAB
∴ AD/AB=AB/AC
即AB²=AD·AC。其余同理可得可证
拓展：当这个三角形不是直角三角形但是∠ABD等于∠C时结论AB²=AC·AD也成立。
相似性可以用来证明这一点。
证明：∵∠ABD=∠C,∠A=∠A，
∴△BAD∽△CAB
∴ AD/AB=AB/AC
即AB²=AC·AD。
如图所示，AB为O的直径，D点为中点，CD和BA的延长线与E相交，BD和AC的延长线与F点相交。
（1）求证：DC2=DF•DB；
（2）如果AE=AO，CD=2，则发现ED的长度。
提升练习：
如图所示，ad是δabc的角平分线。BC的延长线与E点相交，C点为圆心，CD为半径。它与点F与AD相交，与点M与点B=\CAE相交，且EF:FD=4:3相交。
(1)求证：点F是AD的中点；
(2)求cos ∠AED的值；
(3)如果BD＝10，求半径CD的长．
(1)证明AD是ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠DAC.
_ ADE=坏+_B，DAE=计算机辅助设计+_CAE，
且∠B＝∠CAE，
∴∠ADE＝∠DAE，
∴ED＝EA.
∵ED为⊙O的直径，
∴∠DFE＝90°，
∴EF⊥AD，
∴点F是AD的中点．
分析：求三角函数必须建立直角三角形（直径所对的圆周角为直角），利用参数思想，通过等面积法求出高DM的长，从而利用勾股定理求出ME的长。
（3）分析：比较难观察出圆中的射影定理的拓展的基本图形△AEC∽△BEA.