四、典型习题导练

1. 函数的图像如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（    ）

    A.　　　　B.

  C.        D.　　　　　　

 

2、已知2lg(x－2y)=lgx+lgy,则的值为（    ）

    A.1               B.4               C.1或4           D.4 或 8

3、方程 (0<a<1)的解的个数为（    ）

     A.0              B.1               C.2               D.3

4、函数f(x)与g(x)=()^x的图像关于直线y=x对称,则f(4－x²)的单调递增区间是   (    ）

     A.         B.         C.           D.

5、图中曲线是幂函数y＝xⁿ在第一象限的图像，已知n可取±2，±四个值,则相应于曲线c1、c2、c3、c4的n依次为(   )

A.－2，－，，2          B．2，，－，－2　　

C. －，－2,2，          D. 2，，－2, －

6. 求函数y = log ₂ (x² －5x+6) 的定义域、值域、单调区间.

7. 若x满足 ,求f(x)=最大值和最小值.

8.已知定义在R上的函数为常数

（1）如果＝，求的值；

（2）当满足（1）时，用单调性定义讨论的单调性.

§2.4　函数与方程

一、知识导学

1.函数的零点与方程的根的关系：

　一般地，对于函数（）我们称方程的实数根也叫做函数的零点，即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值. 求综合方程f(x)=g(x)的根或根的个数就是求函数的零点.

2.函数的图像与方程的根的关系：

　　一般地，函数（）的图像与轴交点的横坐标就是的根.综合方程f(x)=g(x)的根，就是求函数y＝f(x)与y=g(x)的图像的交点或交点个数，或求方程的图像与轴交点的横坐标.

　　3.判断一个函数是否有零点的方法：

　　如果函数在区间[a,b]上图像是连续不断的曲线，并且有，那么，函数在区间（a,b）上至少有一个零点，即至少存在一个数使得，这个c也就是方程的一个根.对于我们学习的简单函数，可以借助图像判断解的个数，或者把写成，然后借助、的图像的交点去判断函数的零点情况.

4. 二次函数、一元二次方程、二次函数图像之间的关系：

　　二次函数的零点，就是二次方程的根，也是二次函数的图像与x轴交点的横坐标.

5. 二分法：

　　对于区间[a,b]上的连续不断，且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

二、疑难知识导析

1.关于函数的零点，就是方程的实数根，也就是与函数图像的交点的横坐标. 要深刻理解，解题中灵活运用.

2.如果二次函数，在闭区间[m,n]上满足，那么方程在区间（m,n）上有唯一解，即存在唯一的，使，方程另一解.

3. 二次方程的根在某一区间时，满足的条件应据具体情形而定.如二次方程＝的根都在区间时

应满足：

4.用二分法求二次方程的近似解一般步骤是

（1）取一个区间（）使

（2）取区间的中点，

（3）计算，①若，则就是的解，计算终止；②若，则解位于区间（）中，令；若则解位于区间（）令

（4）取区间是（）的中点，重服第二步、第三骤直到第n步，方程的解总位于区间（）内

（5）当精确到规定的精确度的近似值相等时，那么这个值就是所求的近似解.

三、经典例题导讲

[例1]已知函数若时，≥0恒成立，求的取值范围.

错解：（一）恒成立，∴△＝≤0恒成立

　解得的取值范围为

错解：（二）∵若时，≥0恒成立

∴即

解得的取值范围为

错因：对二次函数＝当上≥0恒成立时，△≤0

片面理解为，≥0，恒成立时，△≤0 ；或者理解为

这都是由于函数性质掌握得不透彻而导致的错误.二次函数最值问题中“轴变区间定”要对对称轴进行分类讨论；“轴定区间变”要对区间进行讨论.

正解：设的最小值为

（1）当即＞4时，＝＝7－3≥0，得故此时不存在；

(2) 当即－4≤≤4时，＝3－－≥0，得－6≤≤2

又－4≤≤4，故－4≤≤2；

（3）即＜－4时，＝＝7＋≥0，得≥－7，又＜－4

故－7≤＜－4

综上，得－7≤≤2

[例2]已知有且只有一根在区间（0,1）内，求的取值范围.

错解：设∵有且只有一根在区间（0,1）内

∴得＜－2

错因：对于一般，若，那么，函数在区间（a,b）上至少有一个零点，但不一定唯一.对于二次函数，若则在区间（a,b）上存在唯一的零点，一次函数有同样的结论成立.

　　　但方程＝0在区间（a,b）上有且只有一根时，不仅是，也有可能.如二次函数图像是下列这种情况时，就是这种情况.

由图可知＝0在区间（a,b）上有且只有一根，但是

 

正解：设，（1）当＝0时方程的根为－1，不满足条件.

（2）当≠0∵有且只有一根在区间（0,1）内

又＝1＞0　

　∴有两种可能情形①得＜－2

或者②得不存在

综上所得，＜－2

[例3]已知一次函数与二次函数图像如图，其中

的交点与轴、轴的交点分别为A（2，0），B（0，2）；与二次函数的交点为P、Q，P、Q两点的纵坐标之比为1︰4.（1）求这两个函数的解析式.（2）解方程：

（1）错解：把 A（2，0），B（0，2）两点坐标分别代入一次函数解得

∴一次函数为 

设P（₁，₁），Q（，₂），则

₁︰₂＝1︰4

∴︰＝1︰4　　∴₁︰₂＝1︰2或₁︰₂＝（－1）︰2

当₁︰₂＝1︰2时，Q点坐标为（2₁，4₁），把P、Q两点坐标分别代入直线方程即得　　　解得

∴P（3，－1），Q（6，－4），抛物线方程为

当₁︰₂＝（－1）︰2时， Q点坐标为（－2₁，4₁）把P、Q两点坐标分别代入直线方程即得　　　解得

∴P（1， 1），Q（－2， 4），抛物线方程为

错因：在得到₁︰₂值之后，要注意题意判断点的位置关系，多余的解要舍去，题中Q在第二象限，所以不合条件.

正解：（1）抛物线方程为

（2）方法一：由（1）得方程　即为　

解得₁＝－2，₂＝1.

　　方法二：方程的根即为二次函数与一次函数的交点的横坐标.由（1）知它们交点的坐标分别为P（1， 1），Q（－2， 4），　

∴方程的解为₁＝－2，₂＝1.

 

[例4]是否存在这样的实数k，使得关于x的方程

²+（2k－3）－（3k－1）＝0有两个实数根，且两根都在0与2之间？如果有，试确定k的取值范围；如果没有，试说明理由.

错解：令那么由条件得到

即此不等式无解

即不存在满足条件的k值.

错因：方程两根都在0与2之间，根据图像，可知除满足上述条件外，还要考虑二次函数的对称轴在区间（0,2）内.

正解：令那么由条件得到

即即此不等式无解

即不存在满足条件的k值.

[例5]已知二次函数对于₁、₂R，且₁＜₂时

，求证：方程＝有不等实根，且必有一根属于区间（₁，₂）.

解：设F（）＝－，　　

则方程　　　　＝　　　　　　①

与方程　　　　F（）＝0　　　　　　　　　　　　②　等价

∵F（₁）＝－＝

F（₂）＝－＝

∴　F（₁）·F（₂）＝－，又

∴F（₁）·F（₂）＜0

故方程②必有一根在区间（₁，₂）内.由于抛物线y＝F（）在轴上、下方均有分布，所以此抛物线与轴相交于两个不同的交点，即方程②有两个不等的实根，从而方程①有两个不等的实根，且必有一根属于区间（₁，₂）.

点评：本题由于方程是＝，其中因为有表达式，所以解题中有的学生不理解函数图像与方程的根的联系，误认为证明的图像与轴相交于两个不同的点，从而证题中着眼于证＜0，使本题没法解决. 本题中将问题转化为F（）＝－的图像与轴相交于两个不同的两点是解题的关健所在.

[例6]试确定方程最小根所在的区间，并使区间两个端点是两个连续的整数.

分析：只要构造函数＝，计算的自变量取整数值时的函数值，根据其符号，确定方程根的个数及根的分布.

解：令＝

∵＝－54－9＋12＋2＝－49＜0　

＝－16－4＋8＋2＝－10＜0

＝－2－1＋4＋2＝3＞0

＝0－0－0＋2＝2＞0

＝2－1－4＋2＝－1＜0

＝16－4－8＋2＝6＞0

根据·＜0，·＜0，·＜0

可知的零点分别在区间（－2，－1），（0,1），（1,2）内.

因为方程是一个一元三次方程，所以它最多有三个根，所以原方程的最小根在区间（－2，－1）内.

点评：计算一元高次函数值可借助于计算器来完成，在实数范围内一元n次方程最多有n个实根，当然本题也可以用因式分解方法来解.

所以＝0有三个根：

[例7]设二次函数方程的两个根，满足0.

（1）当时，证明；

（2）设函数的图像关于直线对称，证明：

.

分析：（1）用作差比较法证明不等式；

（2）函数图像关于直线对称，实际直线就是二次函数的对称轴，即，然后用已知条件证明不等式即可.

证明：（1）依题意，设

当时，由于，∴，又

∴>0即

∵0.∴

∴

综合得

（2）依题意知，又

∴

∵∴

点评：解决本题的关健有三：一是用作差比较法证明不等式；二是正确选择二次函数的表达式，即本题选用两根式表示；三要知道二次函数的图像关于直线对称，此直线为二次函数的对称轴，即

[例8] 已知函数，且方程有实根.

 (1)求证：-3<c≤-1,b≥0.

(2)若m是方程的一个实根，判断的正负并加以证明

分析：（1）题中条件涉及不等关系的有和方程有实根.

及一个等式，通过适当代换及不等式性质可解得；（2）本小题只要判断的符号，因而只要研究出值的范围即可定出符号.

(1)证明：由，得1+2b+c=0,解得，又，

1

解得，

又由于方程有实根，即有实根，

故即解得或

∴，由，得≥0.

（2）=

∵，∴c<m<1（如图）

∴c—4<m—4<—3<c.

∴的符号为正.

点评：二次函数值的符号，可以求出其值判断，也可以灵活运用二次函数的图像及性质解题.

四、典型习题导练

1. 方程的实根的个数是（　　）

A. 0       B. 1        C. 2         D. 3.

 

2.已知抛物线与轴的两个交点在（1,0）两旁，则关于的方程的根的情况是（　　）

ａ.有两个正数根              　　　 　B.有两个负数根

C.有一个正数根和一个负数根　　　　　　D.无实数根

3.若关于的方程在（0,1）内恰有一解，则的取值范围为（　　）

A. ＜－1　　　　　B. ＞1　　C. －1＜＜1　　　D.0＜＜1

4.已知函数的图像如图所示，则b的取值范围是（　　）

A.(-∞,0)     B.(0,1)       C.(1,2)      D.(2,+∞)

5.已知函数对一切实数都有成立，且方程=0恰有6个不同的实根，则这6个根的和是             .

6. 已知在二次函数的解析式中，＝－3，＝－8，且它的两个零点间的距离等于2，求这个二次函数的解析式.

7.设f(x)=3ax,f(0)＞0，f(1)＞0，求证：

(1)a＞0且-2＜＜-1；

(2)方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根.

8.已知二次函数f(x)=ax²+bx+c.

(1)若a>b>c且f(1)=0，证明：f(x)的图像与X轴相交；

(2)证明：若对x₁、x₂，且f(x₁)f(x₂),则方程必有一实根在区间（x₁,x₂）内；

(3)在（1）的条件下，是否存在实数m，使f(m) = －a成立时,f(m+3)>0.

§2.5　函数的综合运用

一、知识导学

1.在应用中深化基础知识.在复习中基础知识经历一个由分散到系统，由单一到综合的发展过程.这个过程不是一次完成的，而是螺旋式上升的.因此要在应用深化基础知识的同时，使基础知识向深度和广度发展.

2.以数学知识为载体突出数学思想方法.数学思想方法是观念性的东西，是解决数学问题的灵魂，同时它又离不开具体的数学知识.函数内容最重要的数学思想是函数思想和数形结合的思想.此外还应注意在解题中运用的分类讨论、换元等思想方法.解较综合的数学问题要进行一系列等价转化或非等价转化.因此本课题也十分重视转化的数学思想.

3.要重视综合运用知识分析问题解决问题的能力和推理论证能力的培养.函数是数学复习的开始，还不可能在大范围内综合运用知识.但从复习开始就让学生树立综合运用知识解决问题的意识是十分重要的.推理论证能力是学生的薄弱环节，近几年高考命题中加强对这方面的考查，尤其是对代数推理论证能力的考查是十分必要的.本课题在例题安排上作了这方面的考虑.

4.函数应用题主要研究如何利用函数思想解决生产实践中的实际问题，要求各位同学有较宽的知识面，能读懂题意，然后对问题进行分析，灵活运用所学过的数学知识，建立量与量的函数关系，把实际问题材转化为函数问题，通过对函数问题材的解决达到实际问题解决目的.

二、疑难知识导析

1.为了能较快地解决函数综合问题，要求各位学生

⑴在全面复习函数有关知识的基础上，进一步深刻理解函数的有关概念，全面把握各类函数的特征，提高运用基础知识解决问题的能力.

⑵掌握初等数学研究函数的方法，提高研究函数的能力，重视数形结合数学思想方法的运用和推理论证能力的培养.

⑶初步沟通函数与方程、不等式及解析几何有关知识的横向联系，提高综合运用知识解决问题的能力.

⑷树立函数思想，使学生善于用运动变化的观点分析问题.

2.对数学应用题的学习，是提高分析问题、解决问题能力的好途径.不少人在数学应用题面前，束手无策；有的读不懂题意；有的不会归纳抽象、建模，因此要解好应用题，首先应加强提高阅读理解能力，然后将普通语言转化为数学语言和数学符号，实际问题转化为数学问题，再运用数学方法、数学思想去解决问题.

三、经典例题导讲

[例1] 不等式 

错解：

错因： 当时，真数且在所求的范围内（因 ），说明解法错误.原因是没有弄清对数定义.此题忽视了“对数的真数大于零”这一条件造成解法错误，表现出思维的不严密性.

正解  

    

[例2]将进价为8元的商品，按每件10元售出，每天可销售0件，若每件售价涨价0.5元，其销售量就减少10件，问应将售价定为多少时，才能使所赚利润最大，并求出这个最大利润.

错解：设每件售价提高x元，利润为y元，

则y=∴=1时，（元）

错因：没理解题意，每天销售0件是在定价10元时的情况下，所设的应理解为在定价目10元的基础上，再每件售价提高x元，故利润每件应为（2+x）元，此时的销售量为（0－20）元

正解：设每件售价提高x元，利润为y元，则y==

故当，即定价为14元时，每天可获得最大利润为720元.

 

[例3]某工厂改进了设备，在两年内生产的月增长率都是m，则这两年内第二年三月份的产值比第一年三月份的产值的增长率是多少？

错解：设第一年三月份的产值为a，则经过二年，三月份的产值是a(1+m)¹¹,则所求增长率为

，或把第二年三月份的产值写为a(1+m)¹³.

错因：对增长率问题的公式未透彻理解而造成错解，或者是由于审题不细致而造成题意的理解错误.若某月的产值是a，则此后第月的产值为，指数是基数所在时间后所跨过的时间间隔数.

正解：设第一年三月份的产值为a，则第四个月的产值为a(1+m)，五月份的产值为a(1+m)²，

从此类推，则第二年的三月份是第一年三月份后的第12个月，故第二年的三月份的产值是

a(1+m)¹²，又由增长率的概念知，这两年的第二年的三月份的产值比第一年的三月份的产值的增长率为

[例4]在一个交通拥挤及事故易发生路段，为了确保交通安全，交通部门规定，在此路段内的车速v（单位：km/h）的平方和车身长（单位：m）的乘积与车距d成正比，且最小车距不得少于半个车身长.假定车身长均为（单位：m）且当车速为50（km/h）时，车距恰为车身长，问交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使在此路段的车流量Q最大？

(车流量=)

错解：，将，代入得

，∴，又将代入得，

由题意得（）

将Q==（）

∵

∴当且仅当时，

综上所知，（km/h）时，车流量Q取得最大值.

错因：上述解法中结果虽然正确，但解题过程中是错误的，即虽然车速要求，但在行驶过程中车速有可能低于25（km/h），所以解题材中应分两类情形求解，得分段函数.

正解：（1）依题意，

则

显然当时，Q是关于的增函数，∴当时，

当时，Q==

当且仅当时，上式等号成立.

综上所述，当且仅当时，车流量Q取得最大值.

[例5] 定义在R上的函数满足：对任意实数，总有，且当时，.

（1）试求的值；

（2）判断的单调性并证明你的结论；

（3）设，若，试确定的取值范围.

（4）试举出一个满足条件的函数.

解：（1）在中，令.得：.

因为，所以，.

（2）要判断的单调性，可任取，且设.

在已知条件中，若取，则已知条件可化为：.

由于，所以.

为比较的大小，只需考虑的正负即可.

在中，令，，则得.

∵ 时，，

∴ 当时，.

又，所以，综上，可知，对于任意，均有.

∴ .

∴ 函数在R上单调递减.

（3）首先利用的单调性，将有关函数值的不等式转化为不含的式子.

，

，即.

由，所以，直线与圆面无公共点.所以，

.

解得  .

（4）如.

点评：根据题意，将一般问题特殊化，也即选取适当的特值（如本题中令；以及等）是解决有关抽象函数问题的非常重要的手段；另外，如果能找到一个适合题目条件的函数，则有助于问题的思考和解决.

[例6]设为实数，函数，

（1）讨论的奇偶性；

（2）求的最小值.

解：（1）当时，函数

此时，为偶函数

当时，，，

，

此时既不是奇函数，也不是偶函数

（2）（i）当时，

当，则函数在上单调递减，从而函数在上的最小值为.

若，则函数在上的最小值为，且.

（ii）当时，函数

若，则函数在上的最小值为，且

若，则函数在上单调递增，从而函数在上的最小值为.

综上，当时，函数的最小值为

当时，函数的最小值为

当时，函数的最小值为.

点评：（1）探索函数的奇偶性，可依据定义，通过代入有

，即 

可得，当时，，函数函数为偶函数.

通过可得  

化得   此式不管还是都不恒成立，

所以函数不可能是奇函数.

（2）由于本题中含有绝对值，需要去掉，故分类讨论，既要对二次函数值域的研究方法熟练掌握，又要将结论综合，对学生的综合运用数学知识能力及数学思想作了较好的考查.

 

 

 

 

 

[例7]某公司为帮助尚有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出20万元将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有债务均不计利息).

已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销售量q（百件）与销售价p（元／件）之间的关系用右图中的一条折线（实线）表示；职工每人每月工资为600元，该店应交付的其它费用为每月130元.

（1）若当销售价p为52元／件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数；

（2）若该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品的价格定为多少元？

 

分析：本题题目的篇幅较长，所给条件零散杂乱，为此，不仅需要划分段落层次，弄清每一层次独立的含义和相互间的关系，更需要抓住矛盾的主要方面.由题目的问题找到关键词——“收支平衡”、“还清所有债务”，不难想到，均与“利润”相关.

从阅读和以上分析，可以达成我们对题目的整体理解，明确这是一道函数型应用题.为此，首先应该建立利润与职工人数、月销售量q、单位商品的销售价p之间的关系，然后，通过研究解析式，来对问题作出解答.

由于销售量和各种支出均以月为单位计量，所以，先考虑月利润.

解：（1）设该店的月利润为S元，有职工m名.则

.

又由图可知：.

所以，

由已知，当时，，即

，

解得.即此时该店有50名职工.

（2）若该店只安排40名职工，则月利润

.

当时，求得时，S取最大值7800元.

当时，求得时，S取最大值6900元.

综上，当时，S有最大值7800元.

设该店最早可在n年后还清债务，依题意，有

.

解得.

所以，该店最早可在5年后还清债务，此时消费品的单价定为55元.

 

点评：求解数学应用题必须突破三关：

（1）阅读理解关：一般数学应用题的文字阅读量都比较大，要通过阅读审题，找出关键词、句，理解其意义.

（2）建模关：即建立实际问题的数学模型，将其转化为数学问题.

（3）数理关：运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型.

 

四、典型习题导练

1.对函数作代换x=g(t)，则总不改变f(x)值域的代换是 (    )  A.      B.

    C.g(t)=(t－1)²                      D.g(t)=cost

2.用铁管做一个形状为直角三角形的铁框架，要使直角三角形面积为1平方米，有下列四种长度的铁管，最合理（够用，浪费又最少）的是（    ）

A.4.1米            B.4.8米         C.5米         D.5.2米

3.函数的图像大致是（   ）                              

 

 

 

 

 

 

4.设x₁、x₂为方程4x²－4mx+m+2=0的两个实根，当m=_________时，x₁²+x₂²有最小值_________.

5.设m是实数，记M={m|m>1},f(x)=log₃(x²－4mx+4m²+m+).

(1)证明：当m∈M时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则m∈M.

(2)当m∈M时，求函数f(x)的最小值.

(3)求证：对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1.

6.（03年荆州质量检测）某影院共有1000个座位，票价不分等次，根据该影院的经营经验，当每张票价不超过10元时，每提高一元，将有30张票不能售出，为了获得更高的收益，需给影院定一个比较合理的价格，要求它符合以下三个基本条件：①为了方便找零与算账，票价为 1元的整数倍；②影院放一场电影成本费用支出为5750元；③票房收入必需大于成本支出.用x（元）表示每张票的价格，用y（元）表示该影院放映一场电影的净收入.

（1）求函数的解析式和它的定义域；

（2）试问在符合基本条件的前提下，每张票价定为多少时，放映一场的净收益最大.

7.已知函数f(x)和g(x)的图像关于原点对称，且f(x)＝x²＋2x.

   (1)求函数g(x)的解析式；

   (2)解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|；

   (3)若h(x)＝g(x)－f(x)＋1在[－1，1]上是增函数，求实数的取值范围.

8.已知函数（a，b为常数）且方程f(x)－x+12=0有两个实根为x₁=3, x₂=4.（1）求函数f(x)的解析式；

   （2）设k>1，解关于x的不等式；.

9．设a为实数，设函数的最大值为g(a)。（1）设t＝，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)

（2）求g(a)

（3）试求满足的所有实数a