难点10  函数图象与图象变换

函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，考生要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质.

●难点磁场

(★★★★★)已知函数f(x)=ax³+bx²+cx+d的图象如图，求b的范围.

●案例探究

［例1］对函数y=f(x)定义域中任一个x的值均有f(x+a)=f(a－x),(1)求证y=f(x)的图象关于直线x=a对称；(2)若函数f(x)对一切实数x都有f(x+2)=f(2－x),且方程f(x)=0恰好有四个不同实根，求这些实根之和.

命题意图：本题考查函数概念、图象对称问题以及求根问题.属★★★★★级题目.

知识依托：把证明图象对称问题转化到点的对称问题.

错解分析：找不到问题的突破口，对条件不能进行等价转化.

技巧与方法：数形结合、等价转化.

(1)证明：设(x₀,y₀)是函数y=f(x)图象上任一点，则y₀=f(x₀),又f(a+x)=f(a－x),∴f(2a－x₀)=

f［a+(a－x₀)］=f［a－(a－x₀)］=f(x₀)=y₀,∴(2a－x₀,y₀)也在函数的图象上，而=a,∴点(x₀,y₀)与(2a－x₀,y₀)关于直线x=a对称，故y=f(x)的图象关于直线x=a对称.

(2)解：由f(2+x)=f(2－x)得y=f(x)的图象关于直线x=2对称，若x₀是f(x)=0的根，则4－x₀也是f(x)=0的根，由对称性，f(x)=0的四根之和为8.

［例2］如图，点A、B、C都在函数y=的图象上，它们的横坐标分别是a、a+1、a+2.又A、B、C在x轴上的射影分别是A′、B′、C′,记△AB′C的面积为f(a),△A′BC′的面积为g(a).

(1)求函数f(a)和g(a)的表达式；

(2)比较f(a)与g(a)的大小，并证明你的结论.

命题意图：本题考查函数的解析式、函数图象、识图能力、图形的组合等.属★★★★★级题目.

知识依托：充分借助图象信息，利用面积问题的拆拼以及等价变形找到问题的突破口.

错解分析：图形面积不会拆拼.

技巧与方法：数形结合、等价转化.

解：(1)连结AA′、BB′、CC′,则f(a)=S_△AB′C=S_{梯形AA′C′C}－S_△AA′B′－S_△CC′B

=(A′A+C′C)=(),

g(a)=S_△A′BC′=A′C′·B′B=B′B=.

∴f(a)<g(a).

●锦囊妙计

1.熟记基本函数的大致图象，掌握函数作图的基本方法：(1)描点法：列表、描点、连线；(2)图象变换法：平移变换、对称变换、伸缩变换等.

2.高考中总是以几类基本初等函数的图象为基础来考查函数图象的.题型多以选择与填空为主，属于必考内容之一，但近年来，在大题中也有出现，须引起重视.

●歼灭难点训练

一、选择题

1.(★★★★)当a≠0时，y=ax+b和y=b^ax的图象只可能是(    )

2.(★★★★)某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中y轴表示离学校的距离，x轴表示出发后的时间，则适合题意的图形是(    )

二、填空题

3.(★★★★★)已知函数f(x)=log₂(x+1)，将y=f(x)的图象向左平移1个单位，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象，则函数F(x)=f(x)－g(x)的最大值为_________.

三、解答题

4.(★★★★)如图，在函数y=lgx的图象上有A、B、C三点，它们的横坐标分别为m,m+2,m+4(m>1).

(1)若△ABC面积为S，求S=f(m);

(2)判断S=f(m)的增减性.

 

5.(★★★★)如图，函数y=|x|在x∈［－1,1］的图象上有两点A、B，AB∥Ox轴，点M(1，m)(m∈R且m>)是△ABC的BC边的中点.

(1)写出用B点横坐标t表示△ABC面积S的函数解析式S=f(t);

(2)求函数S=f(t)的最大值，并求出相应的C点坐标.

6.(★★★★★)已知函数f(x)是y=－1(x∈R)的反函数，函数g(x)的图象与函数y=－的图象关于y轴对称，设F(x)=f(x)+g(x).

(1)求函数F(x)的解析式及定义域；

(2)试问在函数F(x)的图象上是否存在两个不同的点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直？若存在，求出A、B的坐标；若不存在，说明理由.

7.(★★★★★)已知函数f₁(x)=,f₂(x)=x+2,

(1)设y=f(x)=，试画出y=f(x)的图象并求y=f(x)的曲线绕x轴旋转一周所得几何体的表面积；

(2)若方程f₁(x+a)=f₂(x)有两个不等的实根，求实数a的范围.

(3)若f₁(x)>f₂(x－b)的解集为［－1，］，求b的值.

8.(★★★★★)设函数f(x)=x+的图象为C₁，C₁关于点A(2，1)对称的图象为C₂，C₂对应的函数为g(x).

(1)求g(x)的解析表达式；

(2)若直线y=b与C₂只有一个交点，求b的值，并求出交点坐标；

(3)解不等式log_ag(x)<log_a (0<a<1).

参考答案

难点磁场

解法一：观察f(x)的图象，可知函数f(x)的图象过原点，即f(0)=0,得d=0,又f(x)的图象过(1，0)，∴f(x)=a+b+c①,又有f(－1)＜0,即－a+b－c＜0②,①+②得b＜0,故b的范围是(－∞,0)

解法二：如图f(0)=0有三根，∴f(x)=ax³+bx²+cx+d=ax(x－1)(x－2)=ax³－3ax²+2ax,∴b=

－3a,∵a>0,∴b＜0.

歼灭难点训练

一、1.解析：∵y=b^ax=(b^a)^x,∴这是以b^a为底的指数函数.仔细观察题目中的直线方程可知：在选择支B中a>0,b>1,∴b^a>1,C中a＜0,b>1,∴0＜b^a＜1,D中a＜0,0＜b＜1,∴b^a>1.故选择支B、C、D均与指数函数y=(b^a)^x的图象不符合.

答案：A

2.解析：由题意可知，当x=0时，y最大，所以排除A、C.又一开始跑步，所以直线随着x的增大而急剧下降.

答案：D

二、3.解析：g(x)=2log₂(x+2)(x>－2)

F(x)=f(x)－g(x)=log₂(x+1)－2log₂(x+2)

=log₂

∵x+1>0,∴F(x)≤=－2

当且仅当x+1= ,即x=0时取等号.

∴F(x)_max=F(0)=－2.

答案：－2

三、4.解：(1)S_△ABC=S_{梯形AA′B′B}+S_{梯形BB′C′C}－S_{梯形AA′C′C}.

(2)S=f(m)为减函数.

5.解：(1)依题意，设B(t, t),A(－t, t)(t>0),C(x₀,y₀).

∵M是BC的中点.∴=1, =m.

∴x₀=2－t,y₀=2m－t.在△ABC中，|AB|=2t,AB边上的高h_AB=y₀－t=2m－3t.

∴S=|AB|·h_AB= ·2t·(2m－3t),即f(t)=－3t²+2mt,t∈(0,1).

 (2)∵S=－3t²+2mt=－3(t－)²+,t∈(0,1,若，即＜m≤3,当t=时，S_max=,相应的C点坐标是(2－, m),若>1,即m>3.S=f(t)?在区间(0，1］上是增函数，∴S_max=f(1)=2m－3,相应的C点坐标是(1，2m－3).

6.解：(1)y=－1的反函数为f(x)=lg(－1＜x＜1.

由已知得g(x)=,∴F(x)=lg+,定义域为(－1，1).

(2)用定义可证明函数u==－1+是(－1，1）上的减函数，且y=lgu是增函数.∴f(x)是(－1，1）上的减函数，故不存在符合条件的点A、B.

7.解：(1）y=f(x)=.图略.

y=f(x)的曲线绕x轴旋转一周所得几何体的表面积为(2+)π.

(2)当f₁(x+a)=f₂(x)有两个不等实根时，a的取值范围为2－＜a≤1.

(3)若f₁(x)>f₂(x－b)的解集为［－1，］，则可解得b=.

8.(1)g(x)=x－2+.(2)b=4时，交点为(5，4)；b=0时，交点为(3，0).

(3)不等式的解集为{x|4＜x＜或x>6.