直线与圆的位置关系

考点分析

1．直线和圆的位置关系：

2.圆的切线

3.三角形与圆

思想方法

1、基本思想

分类讨论思想：圆是一种极为重要的几何图形，由于图形位置、形状及大小的不确定，经常出现多结论情况，解题时漏解出错时有发生，解决这类问题，一定要仔细分析，缜密思考，分类讨论，逐一解答．

(1)由于点在圆周上的位置的不确定而分类讨论；

(2)由于弦所对弧的优劣情况的不确定而分类讨论；

(3)由于弦的位置不确定而分类讨论；

(4)由于直线与圆的位置关系的不确定而分类讨论．

2、基本方法：

判断一直线是否为圆的切线的方法：①连半径，证垂直；②作垂线，证半径．

证明切线的常见模型有①证平行；②证全等；③角的和差。

真题精选

1、（2018湘西州）已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（　　）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定【分析】根据圆心到直线的距离5等于圆的半径5，则直线和圆相切．【解答】解：∵圆心到直线的距离5cm=5cm，∴直线和圆相切．故选：B．

例题精讲

例题2、（2018大庆）已知直线y=kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为　．【分析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答．

例题3、（2018宁波）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为（   ）．【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时；如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形；

类型二　圆的切线性质的运用

【解后感悟】本题运用了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定和性质，连结切点和圆心构造垂直或直角三角形是进行有关证明和计算的常用方法，正确的作出辅助线是解题关键．

类型三　圆的切线判定的运用

【解后感悟】(1)解决本类题目可以是将最终的结论当做条件，而答案就是使得条件成立的结论；(2)解答此题的关键是两个基本图形的公共部分(即点D，E和直径AB)的运用；在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，要想证明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线．如果已知直线过圆上某一点，则作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径；如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径．

【分析】（1）连接OC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再根据斜边上的中线性质得MC=MG=ME，所以∠G=∠1，接着证明∠1+∠2=90°，从而得到∠OCM=90°，然后根据直线与圆的位置关系的判断方法可判断CM为⊙O的切线；

（2）先证明∠G=∠A，再证明∠EMC=∠4，则可判定△EFC∽△ECM，利用相似比先计算出CE，再计算出EF，然后计算ME﹣EF即可．

【分析】（1）直接利用角平分线的定义结合平行线的判定与性质得出∠DEB=∠EDO=90°，进而得出答案；

（2）利用勾股定理结合扇形面积求法分别分析得出答案．

类型四　三角形的内切圆问题

【解后感悟】①求证三角形内切圆问题时，常用到面积法：S△ABC＝(a＋b＋c)r÷2，其中r为△ABC的内切圆半径，a，b，c为△ABC的三条边的长度；

②已知直角三角形的三边长为a，b，c(其中c为斜边)，则其内切圆半径r＝（a+b-c）÷2；

③解三角形与圆相切问题时，常利用切线长定理及勾股定理等列方程(组)来求半径的长．

类型五　圆的综合性问题

专题小结

直线与圆的位置关系是中考必考题型。一般出现在解答题，所占分值较大。复习该专题时，一定要注意书写过程，还有是否需要分类讨论。