数论与几何学一样, 是最古老的数学分支．欧几里得的《几何原本》的七、八、九章, 讲的就是数论．

　　对于素数的研究, 在数论中占有很重要的位置．

　　我们知道, 正整数是由１、素数 (也叫质数) 与合数这三类数组成的．一个大于１ 的正整数, 如果只能被１ 和它本身整除, 不能被其他正整数整除, 这样的正整数就叫做素数；否则就叫做合数．在整数１、２、３、４、……中, 去掉１ 与全部合数, 所得的表:

　　２, ３, ５, ７, １１, １３, １７, 称为素数表．在素数表中, 除了第一个素数２, 其余都是奇素数．现在世界上最好的素数表是查基尔编的, 列有大不大于５０００００００ (五千万) 的素数．

　　关于素数, 最古老的问题是: 素数有多少个? 欧几里得在《几何原本》中, 最先证明了素数有无穷多个．他的巧妙的证明方法, 闪耀着智慧的光辉．２０００ 多年来, 人们虽也提出过一些别的证法, 但是直到今天, 还是欧几里得的证明方法最好．

　　欧几里得证明素数有无穷多个的方法, 大意是:

　　假若素数只有有限多个, 设最大的一个是P, 从２ 到P 的全体素数是:

　　２, ３, ５, ７, １１……, P．

　　所有的素数都在这里, 此外再没有别的素数了．

　　现在, 我们来考察上面从２ 到P 的全体素数相乘、再加上１ 这个数, 设它是A, 即

　　A=２×３×５×７×１１×……×P+１．

　　A 是一个大于１ 的正整数, 它不是素数, 就是合数．

　　如果A 是素数, 那么, 就得到了一个比素数P 还要大的素数, 这与素数P 是最大素数的假设矛盾．

　　如果A 是合数, 那么, 它一定能够被某个素数整除, 设它能被g 整除．

　　因为A 被从２ 到P 的任何一个素数除, 余数都是１, 就是都不能整除, 而素数g 是能整除A 的, 所以素数g 不在从２ 到P 的全体素数之中．这说明素数g 是一个比素数P 更大的素数, 这又与P 是最大的素数的假设矛盾．

　　上面的证明否定了素数只有有限多个的假定, 这就证明了素数是无穷多个．

　　这个证明的构思非常巧妙, 它的基本思路是: 既然对于无论多大的素数, 都一定有比它更大的素数, 那当然素数就是无穷多个了．

　　素数虽然有无穷多个, 但是在自然数中, 它是排列得相当稀的．人们证明了这样一个道理: 无论给定一个多大的正整数, 比方说１００ 亿万, 一定能找到一个正整数, 在这个正整数中, 一个素数也没有．如果你不是说１００ 万, 而是说１００ 亿万, 这个结论也成立．

　　这个定理的证明, 在构思上与证明素数无穷相象．

　　素数虽然有无穷多个, 但人们能具体写出来的, 总是有限个．因此, 找一个比现在所知道的最大素数更大的素数, 是人们经常探讨的难题之一．