投影几何与线性规划
来源:互联网发布时间:2009-10-22
直至新近, 数学家G·B·丹齐克所发展的单纯形法① (1947) 仍然有用.不过, 对于巨型问题, 即使使用大型计算机也要花费很多时间, 因而显得不够实用.数学家们把这类问题想象成一个复杂的几何体, 这个几何体有千千万万个的面, 每个面上的每一个角顶都表示一种可能的解.算法的任务就是在不去计算每一个解的情况下求出最佳的解答.丹齐克的单纯形法则是沿着体的棱, 逐一检验顶点, 以求取得最佳解.在大多数问题中, 只要未知量不多于15000 至20000 个, 用这种方法处理都足够有效.
卡马克算法①总的思路是, 通过体的中央取一条捷径.在选定任一内点之后, 通过算法使内部的结构变形, 也就是说形成了新的问题, 在新问题中所选的点准确地成为中心.下一步是在最佳解的方向上找一个新的点, 然后再次变形结构, 使新的点此时成为中心.除非变形已经结束, 否则都要继续同样的步骤, 每次都往最好的方向改进.这种一再施行的变换是基于投影几何的概念, 它能迅捷地导出最佳的解答.
① 译者注: 单纯形法最早是前苏联数学家康多罗维奇于1939 年提出的.康多罗维奇还因在运筹学上的贡献而获得了1975 年诺贝尔经济学奖.文中所提到的N·卡马克算法, 数学界普遍把这一成就归属于前苏联青年数学家哈奇扬.哈奇扬的算法也称"椭圆算法' (1979) .
① 原注: 算法是一种达到解答的计算步骤.例如, 长除法的过程和步骤就是一种算法.在长除法中, 我们需要靠智力在算的过程中取一个捷径.如我们用29 去除658, 人们会想29 接近30, 那么在65 中有几个30呢? 这比算出在658 中有多少个29 便捷得多, 几乎可以立即得出答案.卡马克算法也是一种特有的捷径, 它是建立在变换和变形的基础上的.