幂函数的定义域，初等函数之一
来源:未知发布时间:2019-09-09
幂函数作为基本初等函数之一，需要我们掌握它的基本概念、图象和性质。下面我们就从这三个方面给大家讲解以下如何准确把握幂函数。
首先我们了解它的定义：形如
的函数称为幂函数。
对上述解析式我有如下理解：
（1）凡是幂函数，系数为1。所以，如果给你的幂函数系数是参数，那么毫无疑问参数为1.
（2）指数α是有理数。这点考试几乎不考，让你判断是有理数、无理数是初中生的问题。
（3）底数x是自变量。这点为什么要说呢，当问你
是不是幂函数时你怎么回答——关于s的函数是幂函数，关于t的函数是指数函数（高一学生后面会学习到）。
准确、快速画出幂函数的图象是学习幂函数的目标，也是我们深刻认识幂函数的体现。我以下图为例给大家讲解：
最后总结画法：
（1）先画出两个函数：α=0和α=1所对应的函数
（2）判断你需要画的幂函数α>1还是0<α<1还是α<0
（3）若α>1，则该幂函数在（1，+∝）的图像位于α=1的图象上方；
若0<α<1，则该幂函数在（1，+∝）的图像位于α=0和α=1的图象之间；
若α<1，则该幂函数在（1，+∝）的图像位于α=0的图象下方且在x轴上方渐近于x轴；
（4）在（0，1）上的函数图象补全：
α>0，平滑的曲线连接点（0，0）；
α<0，平滑的曲线向上延长。
上面函数图象的画法里已经分析了很多，这里我们总结以下性质：
（1）定义域：和奇偶性、 α的正负有关
①不管奇偶性，不管α正负，定义域中一定会有（0，+∝）
②奇函数或偶函数：
α>0，定义域为 R
α<0，定义域为 (-∝,0)∪（0，+∝）
③非奇非偶函数：
α>0，定义域为 [0,+∝)
α<0，定义域为（0，+∝）
（2）单调性：和奇偶性、α的正负有关
奇函数在对称区间具有相同的单调性，偶函数在对称区间具有相反的单调性。故，我们只看第一象限的单调性：
α>0，单调递增
α<0，单调递减
（3）奇偶性：和α有关
α是有理数，有理数都可以写成分数，形如m/n，m和n互质，所以m/n只有以下三种情形：
奇/奇 偶/奇 奇/偶
m代表的是m次方，n代表的是开n次根，所以结论如下：
奇/奇 ：奇函数
偶/奇 ：偶函数
奇/偶 ：非奇非偶函数